απαλειφή αγνώστου

Ονομάζεται α.α. μεταξύ μ εξισώσεων δοσμένου συστήματος η εύρεση συστήματος ισοδύναμου με το δεδομένο και στο οποίο μ-1 εξισώσεις δεν περιέχουν τον άγνωστο αυτόν. Η α.α. γίνεται μετρεις μεθόδους: α) με αντικατάσταση, κατά την οποία λύνουμε ως προς έναν άγνωστο μία από τις εξισώσεις και μετά αντικαθιστούμε τον άγνωστο αυτό στις άλλες εξισώσεις με την τιμή που βρήκαμε· β) με σύγκριση, κατά την οποία λύνουμε όλες τις εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο και μετά εξισώνουμε μία από τις τιμές αυτές με καθεμία από τις άλλες. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε με τις εξισώσεις που βρήκαμε τις εξισώσεις του συστήματος εκτός από μία, που γράφεται λυμένη ως προς τον άγνωστό της α (ή όπως ήταν αρχικά)· γ) με πρόσθεση, κατά την οποία, αν έχουμε δύο εξισώσεις στο σύστημα, με τη μέθοδο αυτή κάνουμε αρχικά τους συντελεστές ενός αγνώστου αντίθετους στις δύο εξισώσεις. Προσθέτουμε μετά τις εξισώσεις που βρήκαμε κατά μέλη και με τη νέα εξίσωση που βρίσκουμε αντικαθιστούμε μία από τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος. Αν το σύστημα έχει περισσότερες από δύο εξισώσεις, απαλείφουμε όπως και πριν τον ίδιο άγνωστο και ανάμεσα σε άλλο ζεύγος εξισώσεων κ.ο.κ., έως ότου βρούμε ένα σύστημα στο οποίο μόνο μία εξίσωση να περιέχει τον άγνωστο αυτόν. Στη μέθοδο αυτή πρέπει να προσέχουμε να μην απαλείψουμε δύο φορές τον ίδιο άγνωστο ανάμεσα στις ίδιες εξισώσεις. Δεν αποκλείεται όμως μία εξίσωση να συμμετέχει και σε δεύτερο και τρίτο ζεύγος. Έτσι η α.α. μπορεί να γίνει μεταξύ της πρώτης εξίσωσης και καθεμίας από τις άλλες. Η μέθοδος της πρόσθεσης εφαρμόζεται πιο πλατιά από ό,τι οι άλλες, γιατί έχει το πλεονέκτημα να μην εισάγονται με αυτήν παρονομαστές στις εξισώσεις. Συνήθως, πριν εφαρμοστεί η μέθοδος, γράφουμε κάθε εξίσωση του συστήματος με τη μορφή Π = α, όπου Π ακέραιη αλγεβρική παράσταση που εξαρτάται από τους αγνώστους και α ορισμένος αριθμός ή παράσταση χωρίς αγνώστους.